2012/09/05じゃんけんあいこ確率計算式

大分前にスクリプトで求めたじゃんけんであいこになる確率。
その時は良い計算式が思い浮かばなかった為スクリプトを作ったのですが、
何とかして計算式を作れないだろうかともう1度考えてみた所、
今度は計算式を作る事が出来ました。
これであまり時間をかけずに確率を求められます。
では、さっそく計算式を書くとしましょう。

｛3の人数乗－（2の人数乗×3－6）｝÷3の人数乗

これは、｛全パターン－（あいこにならないパターン）｝÷全パターンという式です。
では、詳しく解説をしていきます。
まずは全パターンを表す3の人数乗についてですが、
3という数字は出せる手の種類(グー・チョキ・パー)から来ています。
次に最後の割り算についてですが、｛｝の中の計算で求められるのは
あくまでもパターン数なので、それを全パターン数で割って確率にしているのです。
では、ここからが本番です。あいこにならないパターンについてです。
あいこにならないパターンという事は、2種類の手が出ているパターンという事です。
そこで、じゃんけんの手が2種類しかないとします。だから、2の人数乗なのです。
但し、手が2種類といってもグーとチョキ・グーとパー・チョキとパーの3種類がある為、
3種分のパターン数を出す為に3倍します。でも、まだ終わりではありません。
2種類しか手がないじゃんけんでも、全員が同じ手を出せばあいこになるのです。
なので、あいこになるパターンを除いて終了という訳です。
さて、ここで疑問に思った方もいるのではないでしょうか。
全員同じ手のパターンは全員グー・全員チョキ・全員パーの3パターンだけなのに
何故6を引くのかと。という訳で、最後にそれについて説明をしておきます。
グー・チョキの2種類のパターンでは全員グー・全員チョキのあいこパターンが、
グー・パーの2種類のパターンでは全員グー・全員パーのあいこパターンが、
チョキ・パーの2種類のパターンでは全員チョキ・全員パーのあいこパターンが、
それぞれ存在します。どの手も2パターンずつと被ってしまっているのです。
だから、3ではなく6を引いたのです。

最後におまけです。この式を使って20人の場合の確率を求めてみました。
3483638679/3486784401であいこの確率は約99.9%、つまりおよそ1000回に1回しか
決着が付かない事になるのです。